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Zusammenfassung
  • Sei K/k eine endliche Galoiserweiterung mit Gruppe G. Hilberts Satz 90 besagt, dass jedes Element von K der Norm 1 die Gestalt a/g(a) mit einem a aus K hat, wenn G zyklisch mit erzeugendem Element g ist. Eine andere Formulierung dieser Aussage lautet H^{-1}(G,K*)=1, wobei H^{-1}(G,K*) die {-1}-te Kohomologiegruppe von G mit Koeffizienten in der multiplikativen Gruppe K* von K bezeichnet. Unser Ziel ist die Untersuchung von H^{-1}(G,K*) für biquadratische Erweiterungen algebraischer Zahlkörper. Auf recht elementare Weise lässt sich für gewisse biquadratische Erweiterungen von Q zeigen, dass H^{-1}(G,K*) für G=(Z/2)^2 keineswegs trivial zu sein braucht, wobei in einigen Fällen eine vollständige Bestimmung von H^{-1}(G,K*) möglich ist. Mit der kohomologischen Fassung der Klassenkörpertheorie nach Tate zeigt sich, dass H^{-1}(G,K*) allein von der Anzahl n=n(K/k) der Stellen p von k abhängt, an denen die Zerlegungsgruppe G_p mit G übereinstimmt. Es gilt die Formel H^{-1}(G,K*)=(Z/2)^{n-1}, wobei im Fall n=0 (Z/2)^{n-1}=0 zu lesen ist.
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