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Zusammenfassung
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In dieser Doktorarbeit führen wir den neuen Begriff der Bianchi-Konvexität – einer Verallgemeinerung von Konvexität, die durch die zweite Bianchi-Identität von riemannschen Krümmungstensoren inspiriert ist – ein, untersuchen diesen und geben einige Anwendungen auf den Ricci-Fluss: Im Setting von algebraischen Krümmungstensoren verallgemeinern wir Hamiltons Maximumprinzip für Bianchi-konvexe Mengen. In Dimension drei leiten wir damit eine Familie von nichtkonvexen, aber Bianchi-konvexen Mengen her, die durch den Ricci-Fluss erhalten werden. Darüber hinaus benutzen wir das Konzept von Bianchi-konvexen Funktionen um Starrheitsresultate für kompakte Ricci-Solitonen bzw. vollständige schrumpfende Ricci-Solitonen zu beweisen. Dies führt zu expliziten Krümmungsbedingungen, sodass vollständige schrumpfende Gradienten-Ricci-Solitonen (und als Spezialfall vollständige Einsteinmannigfaltigkeiten), welche diese erfüllen, lokal symmetrisch sind.

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