Die Aufgabe, Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung zu bestimmen, ist eine schon seit langem bestehende enorme Herausforderung in vielen wichtigen naturwissenschaftlichen Themenfeldern. Da symbolische Lösungen des Operator-Eigenwertproblems nur in den seltensten Fällen explizit angegeben werden können, ist man zumeist gezwungen, auf numerische Techniken -- insbesonders auf Verfahren für gigantische hermitesche Eigenwertprobleme -- zurückzugreifen.
In der vorliegenden Arbeit befassen wir uns mit dem speziellen Fall drei-atomiger Moleküle, die den sogenannten "doppelten Renner Effekt" aufweisen. Wir erläutern zunächst den Ursprung sowie den theoretischen Hintergrund des abstrakten Schrödinger Problems und diskutieren gangbare Techniken für den Übergang zu endlich dimensionalen hermiteschen Matrizen, die den ursprünglichen Hamilton-Operator hinreichend gut approximieren und somit einer numerischen Behandlung zugänglich machen. Auf Grund des enormen Speicherbedarfs und der immensen Rechenzeiten, die sich schnell auf bis zu mehrere Wochen erstrecken können, ist die Anwendung konventioneller, so genannter direkter Löser (QR Verfahren, RRR Algorithmus) entweder nicht möglich oder nicht ratsam.
Unser Hauptaugenmerk bei der Behandlung des Matrix-Eigenwertproblems liegt daher auf Varianten des Jacobi-Davidson Verfahrens, die zur alternativen Klasse der iterativen Projektionsmethoden zählen.
Unser Ziel ist es zu zeigen, dass diese Verfahren in unserem Kontext erfolgreich angewendet werden können, d.h. dass sie -- was die Rechenzeit anbelangt -- zumeist effizienter sind als direkte Eigenlöser einerseits und die übrigen Verfahren aus der Klasse der iterativen Projektionsmethoden (Lanczos, Davidson, Olsen) andererseits. Um dies bewerkstelligen zu können, müssen wir geeignete Präkonditionierer für die auftretenden Shift-and-Invert Systeme identifizieren und konstruieren, welche die Problem-spezifischen Informationen ausnutzen. Außerdem sind dem Problem angepasste Routinen für die Matrix-Vektor Multiplikation entscheidend für den Erfolg unseres Ansatzes. Wir erläutern unsere Ideen an Hand umfangreicher numerischer Experimente und Resultate.