In dieser Arbeit stellen wir einen allgemeinen Rahmen für die Formulierung und theoretische Betrachtung von Block-Krylow-Unterraumverfahren vor, welcher sich die Definition eines matrixwertigen Innen-Produktes zunutze macht. Innerhalb dieses Rahmens formulieren wir die “klassischen” Block-Krylow-Unterraum- Verfahren, wie O’Learys Block-Conjugate-Gradient-Verfahren, globale Krylow- Unterraumverfahren und Schleifentausch-Verfahren. Die Allgemeinheit unseres Ansatzes ermöglicht es uns, das Shifted-Block-Full-Orthogonalization-Verfahren (Sh- BFOM(m)) um effiziente Neustarts zu erweitern und Fehlerschranken anzugeben. Darüber hinaus geben wir eine Modifikation des BFOM-Verfahrens an, welche wir Modified-BFOM nennen. Das BFOM-Verfahren lässt sich als Prototyp vieler Block- Krylow-Unterraumverfahren ansehen. In gleicher Weise zeigen wir, dass sich das Block-GMRES- sowie das neue Block-Radau-Lanczos-Verfahren als Modified-BFOM auffassen lassen. Analog zur Konstruktion von Sh-BFOM(m) entwickeln wir eine effiziente Neustart-Prozedur und Fehlerschranken für das Shifted-BGMRES-Verfahren (Sh-BGMRES(m)).
Unter Zurhilfenahme unseres allgemeinen Ansatzes und auf Basis von Neustarts verwendenden Shifted-Block-Krylow-Verfahren entwickeln wir Block-Krylow- Unterraum-Verfahren mit Neustarts für die Berechnung von f(A)B, d.h. für die Berechnung des Produktes einer Matrix mit mehreren rechten Seiten, wobei die Matrix durch die Anwendung einer Matrixfunktion gegeben ist. Des Weiteren leiten wir Schranken für die Konvergenzgeschwindigkeit der B(FOM)² (BFOM for Functions of Matrices) und Block-Harmonic-Verfahren (d.h. Verfahren ähnlich zu BGMRES) für Matrixfunktionen her.
Anhand von diversen numerischen Beispielen bestätigen wir unsere theoretischen Vorhersagen über Sh-BFOM und Sh-BGMRES. Außerdem analysieren wir die matrixwertigen Polynome, welche mit den Residuenverläufen der Verfahren in Beziehung stehen. Indem wir das B(FOM)²- und die Block-Harmonic-Verfahren in diversen praxisrelevanten Anwendungen testen, zeigen wir, dass die Verfahren robust und vielseitig einsetzbar sind. Ein besonders interessantes Beispiel, welches wir betrachten, ist die Tensor-t-Funktion. Sie ist der von uns vorgeschlagene Weg, Funktionen auf Tensoren, welche mit der durch das t-Produkt gegebenen Struktur versehen sind, zu definieren. Da wir keine theoretischen Belege haben, zeigen wir mittels Experimenten, dass die Block-Radau-Lanczos-Modifikation die Anzahl der Durchläufe sowohl für die iterative Lösung linearer Systeme als auch für die Berechnung von Matrixfunktionen reduziert.