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Zusammenfassung (Deutsch)

Eines der größten Probleme der komplexen Analysis mehrerer Veränderlicher ist die Charakterisierung, wann es eine biholomorphe Abbildung zwischen zwei Gebieten $\Omega_1$ und $\Omega_2$ gibt. Im Fall $n=1$ lässt sich dieses Problem durch den Riemannschen Abbildungssatz schon durch die topologische Bedingung des einfachen Zusammenhangs entscheiden. Hingegen ist für $n\ge2$ bereits seit 1907 durch Poincaré bekannt, dass nicht einmal der Einheitsball $B^2(0,1)$ und der Einheitspolyzylinder $P^2(0,1)$ im $\mathbb{C}^2$ biholomorph äquivalent sind. Es ist also klar, dass in höheren Dimensionen andere Eigenschaften nötig sind, um Klassen von biholomorph äquivalenten Gebieten zu charakterisieren. Eine Möglichkeit dazu ist die Suche nach Objekten, die unter biholomorphen Abbildungen invariant sind.

Hierbei haben sich invariante Differenzialmetriken als hilfreich gezeigt.

In dieser Arbeit untersuchen wir die Bergman-Metrik und charakterisieren ihr Randverhalten optimal in Termen einer Pseudometrik, welche die Randgeometrie lineal konvexer Gebiete endlichen Typs sehr gut wiedergibt.

Haupthilfsmittel sind hierbei die optimalen, holomorphen Stützfunktionen nach Diederich und Fornaess, mit denen wir plurisubharmonische Funktionen konstruieren, die geeignet an die Geometrie lineal konvexer Gebiete angepasst sind.

Darüber hinaus untersuchen wir einer Arbeit von McNeal folgend den Bergman-Kern und seine Ableitungen außerhalb der Diagonalen und geben geeignete Abschätzungen an.

Zuletzt beschreiben wir noch das Randverhalten der Bergman-, der Carathèodory- und der Kobayashi-Metrik in Termen des Randabstandes bezüglich des Catlinschen Multityps.

Zusammenfassung (Englisch)

One of the biggest problems in complex analysis is the characterisation in which cases a biholomorphic mapping between two given domains $\Omega_1$ and $\Omega_2$ exists.

If $n=1$ this problem is answered via the Riemannian mapping theorem by the assumption that $\Omega_1$ is simply connected. If $n\ge 2$ Poincaré discovered in 1907 that the unitball $B^2(0,1)$ and the unitpolydisk $P^2(0,1)$ in $\mathbb{C}^2$ are not biholomorphic equivalent. So it is clear that in higher dimensions one has to investigate other properties to characterise classes of biholmorphic equivalent domains. One method is to consider objects which are invariant by biholomorphic transformations.

Invariant differential metrics are helpful in this context.

In this thesis we investigate the boundary behaviour of the bergman metric and characterise it in terms of a pseudometric which is optimal adapted to the boundary geometry of lineally convex domains of finite type.

One of the main tools is the family of holomorphic support functions satisfying optimal estimates as constructed by Diederich and Fornaess. We use them to construct plurisubharmonic functions which are adapted to the geometry of lineally convex domains.

Moreover we investigate the boundary behaviour of the bergman kernel and its derivatives off the diagonal following an article of McNeal.

At the end we describe the boundary behaviour of the Bergman-, Carathèodory- and Kobayashi metric in terms of the boundary distance by using the Catlin multityp.

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