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Zusammenfassung (Deutsch)

Die Röhrenknochen der unteren Extremitäten des menschlichen Bewegungsapparates sind äußeren Belastungen unterworfen, die sowohl im Hinblick auf die Häufigkeit als auch auf die Belastungsstärke eine hohe Anforderung an die Struktur darstellen. Relativ leicht können die äußeren Belastungen den physiologischen Bereich verlassen und in extremen Situationen (Sport, Unfall) Größenordnungen erreichen, die die Funktionstüchtigkeit beeinträchtigen oder zu Schäden führen. Auf der anderen Seite ist jedoch eine Mindestbelastung des Knochens erforderlich, um Wachstums- sowie Umbauprozesse des Knochengewebes aufrechtzuerhalten. Die Beanspruchung des Knochengewebes, das mechanische und dynamische Verhalten sowie langfristige biophysikalische und biochemische Reaktionen (funktionale Adaptivität) sind besonders aus der Sicht der Orthopädie und Prothetik von Interesse.

Die biomechanischen Eigenschaften des Knochens werden am Beispiel des Oberschenkelknochens (Femur) erläutert. Der Knochen stellt eine äußerst komplizierte Struktur dar, die nicht nur auf makroskopischer Ebene z.B. durch inhomogene und anisotrope Eigenschaften, sondern auch im mikroskopischen Bereich durch die Porosität und verschiedene Stoffe (Flüssigkeiten und Knochenmark) mit stark differenzierenden Eigenschaften beschrieben wird. Eine Berücksichtigung der Knochenflüssigkeiten ist in zweierlei Hinsicht notwendig. Zum einen übernimmt die viskose Knochenflüssigkeit und das -mark bei großen Dehnungsgeschwindigkeiten eine unterstützende, den Knochen entlastende Aufgabe, was sich vor allem in den Gelenkbereichen, die eine hohe Porosität besitzen, bemerkbar macht. Zum anderen ist der Flüssigkeitsbewegung eine bedeutende Rolle bei den Umbauprozessen und der Knochenneubildung zuzuschreiben.

Um das Verhalten der porösen Knochenstruktur mit einer Flüssigkeit bei dynamischen Belastungen analysieren und verstehen zu können ist die Entwicklung einfacher und überschaubarer Modelle erforderlich. Diese werden - auch im Hinblick auf eine thermodynamisch verträgliche Formulierung von Materialgesetzen - aus einer allgemeinen Theorie auf der Grundlage der Mehrkomponentenkontinua entwickelt.

Hierzu erfolgt zunächst die Formulierung der Kinematik anhand einer Lagrangeschen Betrachtungsweise für den Feststoff und der Beschreibung der übrigen Stoffkomponenten mit Relativkinematen. Nach einer allgemeinen Formulierung der Erhaltungsgleichungen, des Konzeptes der Volumenanteile und der Entropieungleichung für ein Mehrkomponentenkontinuum, werden für ein Zweikomponentenkontinuum aus einem Feststoff und einer Flüssigkeit die konstitutiven Beziehungen für einen Zustand in der Nähe des sogenannten thermodynamischen Gleichgewichts hergeleitet.

Eine Reduktion der Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Hypothesen der Stabtheorie für den Feststoff und mit speziellen Ansatzfunktionen für die Flüssigkeit nach der Methode von Galerkin führt auf ein eindimensionales Modell. Nach der Vorstellung eines analytischen Lösungsverfahrens werden am Beispiel des longitudinal belasteten Stabes mit einer Flüssigkeit die dynamischen Eigenschaften des Röhrenknochens sowie die Einflüsse der Porosität und des Diffusionswiderstandes aufgezeigt.

Zusammenfassung (Englisch)

Long bones of the human lower extremities are subjected to several types of loads, which put high demands on the bone structure with regard to load history and level. The load can easily leave the physiologically admissible domain and reach a level (sport or accident) which causes malfunction or local damages. On the other hand, a minimum level of load is required to maintain the process of bone remodeling. The loading of the bone structure, the mechanical and dynamic properties and long-term biophysical and biochemical reactions (functional adaptation) are of great interest in the view of orthopaedics and prostheses research.

The biomechanical properties of human long bones are explained examplarily with the femur. Bones have a very complex structure and properties not only in the macroscale domain (i.e. inhomogeneity and anisotropy) but also in the microscale domain described by the porosity of the bone matrix and several materials like bone fluids and marrow with different properties. The representation of the bone fluid is of great importance in two aspects. First, the bone fluid supports the bone matrix while loading with a high strain velocity due to viscous effects, especially at the joint parts of the bone with high porosity. Second, the bone fluid pressure takes an important role during bone remodeling.

In order to understand and analyse the behavior of a porous bone structure with fluid under dynamic loading, the development of easy and clearly arranged models is required. These models are based on the general formulation of the theory of mixtures also with respect to a thermodynamically acceptable formulation of constitutive equations.

First of all the kinematics are formulated by using the Lagrangean description for the solid component (bone matrix) and by applying relative kinematics for all other components. After the development of the conservation equations, of the concept of volume fraction and of the entropy inequality for a common multi-phase mixture, the constitutive equations are formulated for the special case of a two-component-continuum with one solid and one fluid component in the vicinity of the so-called thermodynamic equilibrium.

The reduction of the general equations with the help of the hypotheses of the beam theory for the solid and with the help of special functions for the fluid movement by using the method of Galerkin results in a one-dimensional model. After the documentation of an analytical solution for the axially loaded beam with two components the dynamic properties of the porous bone, the effects of porosity and diffusion are demonstrated by an example.

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