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Abstract (German)

In dieser Arbeit wird das folgende klassische Abbildungsproblem der komplexen Analysis betrachtet:

Gegeben seien zwei beschränkte Gebiete D, D' im C^n und eine eigentliche holomorphe Abbildung f von D auf D'. Es sei z ein Randpunkt von D und sei z' ein Punkt der Häufungspunktmenge von z unter f. Unter welchen (lokalen) Bedingungen an die Ränder bD und bD' in der Nähe von z und z' läßt sich f zu einer holomorphen Abbildung in einer offenen Umgebung von z fortsetzen?

Fokus der vorliegenden Arbeit ist dabei der Fall von nicht-pseudokonvexen Randpunkten z und z' - für den im Gegensatz zu dem pseudokonvexen Fall noch keine allgemeinen lokalen Aussagen bekannt sind.

Es werden dazu zwei Hauptergebnisse gezeigt:

Zum einen wird eine (schwache) lokale Version des globalen holomorphen Fortsetzungstheorems für den Fall n=2 von Diederich/Pinchuk (1995) hergeleitet: Sind die Ränder bD und bD' lokal reell-analytisch und von endlichem Typ und läßt sich f homöomorph fortsetzen, dann setzt sich f sogar holomorph fort.

Damit ist die Frage der holomorphen Fortsetzbarkeit auf die der stetigen Fortsetzbarkeit reduziert

Das zweite Hauptergebnis greift diese Frage auf und gibt eine Aussage über die lokale (Hölder-)stetige Fortsetzbarkeit eigentlicher holomorpher Abbildung im allgemeinen Fall n>=2, basierend auf dem Methoden von Lempert (1986) und von Henkin (1973).

Abstract (English)

In this thesis the following classical mapping problem in complex analysis is regarded:

Given are two bounded domains D, D' in C^n and a proper holomorphic map f from D to D'. Let z be a border point of D and z' a point in the cluster set of z with respect to f. Under which (local) assumptions on the borders bD and bD' near z and z' does f extend to a holomorphic mapping on a neighbourhood of z?

The focus of this thesis is on the case of non-pseudoconvex border points z and z' - for which, contrary to the pseudoconvex case, no general local results are known.

US'>Two main results are shown:

First a (weak) local version of the global holomorphic extension theorem for the case n=2 of Diederich/Pinchuk (1995) is presented: If the borders bD and bD' are local real analytic and of finite type and if f extends homeomorphically then f even extends holomorphically.

Therefore the problem of holomorphic extendibility is reduced to the question of continuous extendibility.

The second main result takes up this question and gives an statement on the (Hölder-)continuous extension of proper holomorphic mappings in the general case n>=2, based on the methods of Lempert (1986) and Henkin (1973).

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