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Zusammenfassung (Deutsch)

Die vorliegende Arbeit behandelt den Prozess der Mathematisierung der Quantenmechanik aus mathematikhistorischer Perspektive am Beispiel der Einführung der gruppentheoretischen Methode zwischen 1926 und ca. 1935. Den Ausgangspunkt dieser Analyse bilden die drei quantenmechanischen Beiträge des jungen Mathematikers Bartel L. van der Waerden: die Formulierung des speziell relativistischen Spinorkalküls (1929) und – zusammen mit Leopold Infeld – des allgemein relativistischen (1933), seine Monographie "Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik" (1932), sowie der gemeinsam mit Henrik B. G. Casimir erbrachte rein algebraische Beweis zur vollständigen Reduzibilität der (endlichdimensionalen) Darstellungen (über C) von halbeinfachen Liegruppen (1935). Durch ihre Kontextualisierung in van der Waerdens wissenschaftlichen Werdegang und an seinen Wirkungsstätten (Göttingen, Groningen, Leipzig), durch den Vergleich mit den Arbeiten weiterer Vertreter der gruppentheoretischen Methode (insbesondere Eugene Wigner und Hermann Weyl) sowie durch eine Analyse der Rezeption der gruppentheoretischen Arbeiten in der Quantenmechanik (und der beginnenden Quantenchemie) entsteht ein detailreiches Bild dieses komplexen Wechselwirkungsprozesses zwischen Mathematik und Physik.

Van der Waerden zeigt sich darin als ein Wissenschaftler, der seine physikalischen Beiträge als einen freundschaftlichen Service für die Nachbarwissenschaft versteht. Die Arbeiten zum Spinorkalkül gehen auf Anregungen von Physikern (Paul Ehrenfest, Infeld) zurück. Van der Waerden elementarisierte in seinen physikalischen Arbeiten die mathematischen Zusammenhänge sehr stark. Obwohl er ein Mitbegründer der ”modernen“ Algebra war, hielt er sich mit strukturorientierten Aussagen zur Gruppen-, Darstellungs- und Invariantentheorie zurück. Die Verwendung des ”modernen“ Konzepts der ”Gruppe mit Operatoren“ zur Einführung in die Darstellungstheorie in seiner Monographie begründete er pragmatisch als Vereinfachung von Sprache und Notation. Damit unterscheidet sich van der Waerdens Zugang deutlich von Weyls abstrakteren und Wigners symbolisch komplexeren Darstellungsweise.

Die Entstehung des rein algebraischen Beweises der vollen Reduzibilität halbeinfacher Liegruppen verdeutlicht, dass die Mathematisierung der Quantenmechanik keine disziplinäre Einbahnstraße darstellte, sondern auch zur Lösung offener Probleme in der Mathematik beitrug. Die Grundlage für diesen Beweis bildet der sogenannte Casimiroperator, welcher der Ehrenfest-Schüler Casimir in seiner Dissertation einführte. Entscheidend für die Entstehung des Beweises war letztlich der enge Austausch zwischen Physikern und Mathematikern. Mit den beiden Alternativbeweisen des Algebraikers Richard Brauer (1936) und des Quantenphysikers Giulio Racah (1950/51) blieb die Thematik im Fokus beider Disziplinen.

Zusammenfassung (Englisch)

This paper deals with the process of mathematization of quantum mechanics from the perspective of history of mathematics by example of the introduction of the group-theoretic method between 1926 and round about 1935. The starting point of this analysis is the three quantum mechanical contributions of the young mathematician Bartel L. van der Waerden: firstly the formulation of the special relativistic spinor calculus (1929), secondly, together with Leopold Infeld, that of the general relativistic spinor calculus (1933), and thirdly his monograph "Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik" (1932), as well as the purely algebraic proof of full reducibility of (finite-dimensional) representations (over C) of semi-simple Lie-groups which he and Henrik B. G. Casimir provided (1935). By contextualizing these contributions within van der Waerden's scientific career and in his various places of work (Goettingen, Groningen, Leipzig), by comparing them with the papers of other representatives of the group-theoretic method (in particular Eugene Wigner and Hermann Weyl), and by analyzing the reception of group-theoretic papers in quantum mechanics (and the emerging quantum chemistry) a detailed picture of this complex process of interaction between mathematics and physics is drawn.

Van der Waerden appears as a scientist who regarded his physical contributions as a kind of friendly service to the neighbouring discipline. He wrote the papers on the spinor calculus at the suggestion of the physicists Paul Ehrenfest and Infeld. In his physical papers van der Waerden deliberately kept the mathematical concepts very simple. Although he was one of the founders of "modern" algebra, he avoided structure-orientated statements concerning group, representation and invariant theory to a large extent. He justified his use of the "modern" concept of "groups with operators" to introduce representation theory in his monograph pragmatically as a simplification of language and notation. Thus, van der Waerden's approach differed markedly from Weyl's more abstract one and Wigner's symbolically more complex way of presentation.

The creation of the purely algebraic proof of full reducibility of semi-simple Lie-groups shows that the mathematization of quantum mechanics was no disciplinary one-way road, but also contributed to the solution of open problems in mathematics. The basis of this proof was the so-called Casimir-operator that had been introduced by Ehrenfest's student Casimir in his PhD-thesis. In the end, the very close exchange between mathematicians and physicists played a decisive role in the emergence of this proof. The topic remained a focal point in the two disciplines, as the two alternative proofs of the algebraist Richard Brauer (1936) and the quantum physicist Giulio Racah (1950/51) show.

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