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Abstract (English)

In analogy to the theory of classical Jacobi forms which has proven to

have various important applications ranging from number theory to

physics, we develop in this thesis a theory of Jacobi forms over

arbitrary totally real number fields. For this end we need to

develop, first of all, a theory of finite quadratic modules over

number fields and their associated Weil representations. As a main

application of our theory, we are able to describe explicitly all

singular Jacobi forms over arbitrary totally real number fields whose

indices have rank 1. We expect that these singular Jacobi forms play

a similar important role in this new founded theory of Jacobi forms

over number fields as the Weierstrass sigma function does in the

classical theory of Jacobi forms.

Abstract (German)

In Analogie zur klassischen Theorie der Jacobiformen, die viele

wichtige Anwendungen in der Zahlentheorie bis hin zur Physik hat,

entwickeln wir in der vorliegenden Arbeit eine Theorie der

Jacobiformen über total reellen Zahlkörpern. Hierzu müssen wir

zunächst eine Theorie endlich quadratischer Moduln über Zahlkörpern

und ihrer zugehörigen Weil-Darstellungen entwickeln. Als eine

Hauptanwendung der hier entwickelten Theorie sind wir in der Lage,

alle singulären Jacobiformen über beliebigen total reellen

Zahlkörpern, deren Indizes Gitter vom Rang 1 sind, explizit zu

beschreiben. Wir gehen davon aus, dass diese singulären Jacobiformen

eine ähnlich wichtige Rolle in der hier begründeten Theorie der

Jacobiformen über Zahlkörpern spielen werden wie es von der

Weierstaßschen sigma-Funktion in der klassischen Theorie der

Jacobiformen her bekannt ist.

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