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Zusammenfassung (Englisch)

This thesis is devoted to learning different aspects of quantum entanglement theory.

More precisely, it concerns a characterization of certain classes of pure multipartite

entangled states, their nonlocal and entanglement properties, comparisons with the

other well-studied classes of states and, finally, their utilization in certain quantum

information processing tasks.

The most extensive part of the thesis explores an interesting class of pure multipartite

entangled states, quantum hypergraph states. These states are generalizations of the

renowned class of graph states. Here we cover their nonlocal properties in various

scenarios, derive graphical rules for unitary transformations and Pauli bases measurements.

Using these rules, we characterize entanglement classes of hypergraph states

under local operations, obtain tight entanglement witnesses, and calculate entanglement

measures for hypergraph states. Finally, we apply all the aforementioned analysis

to endorse hypergraph states as powerful resource states for measurement-based

quantum computation and quantum error-correction.

The rest of the thesis is devoted to three disjoint problems, but all of them are still in

the scope of entanglement theory. First, using mathematical structure of linear matrix

pencils, we coarse grain entanglement in tripartite pure states of local dimensions

2 x m x n under the most general local transformations. In addition, we identify the

structure of generic states for every m and n and see that for certain dimensions there

is a resemblance between bipartite and tripartite entanglement. Second, we consider

the following question: Can entanglement detection be improved, if in addition to

the expectation value of the measured witness, we have knowledge of the expectation

value of another observable? For low dimensions we give necessary and sufficient

criterion that such two product observables must satisfy in order to be able to detect

entanglement. Finally, we derive a general statement that any genuine N-partite entangled

state can always be projected on any of its k-partite subsystems in a way that

the new state in genuine k-partite entangled.

Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Arbeit ist verschiedenen Aspekten der Verschränkungstheorie gewidmet. Genauer

gesagt, beschäftigt sie sich mit der Charakterisierung verschiedener Klassen

reiner mehrteilchenverschränkter Zustände, sowie ihrer nicht-lokalen und Verschränkungseigenschaften,

Vergleichen mit anderen bekannten Klassen von Zuständen und,

letztendlich, ihrer Verwendung in der Quanteninformationsverarbeitung.

Der größte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit einer interessanten Klasse von reinen

mehrteilchenverschränkten Zuständen, den Hypergraphen Zuständen. Diese Zustände

bilden eine Verallgemeinerung der weithin bekannten Graphen Zustände. Wir

werden ihre nicht-lokalen Eigenschaften untersuchen und graphische Regeln für ihr

Verhalten unter unitären Transformationen sowie Messungen in der Pauli Basis herleiten.

Unter Verwendung dieser Regeln werden Verschränkungsklassen unter lokalen

Operationen charakterisiert, und optimale Verschränkungszeugen sowie Verschränkungsmaße

berechnet. Zuletzt wird, unter Berücksichtigung der vorangegangenen

Analyse, gezeigt, dass Hypergraphen Zustände eine Ressource für Messungsbasierte

Quantencomputer und Quantenfehlerkorrektur bilden.

Der verbleibende Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit drei unterschiedlichen Problemen

im Rahmen der Verschränkungstheorie. Zuerst wird die Verschränkung reiner

Dreiteilchenzustände mit lokalen Dimensionen 2 x m x n unter den allgemeinsten

Transformationen untersucht. Dazu wird eine spezielle mathematische Struktur verwendet,

die so genannten Matrix Pencils. Zudem identifizieren wir die Struktur von

generischen Zuständen für alle m und n und wir werden sehen, dass in bestimmten

Dimensionen eine Ähnlichkeit zwischen Zweiteilchen- und Dreiteilchenverschränkung

besteht. Danach wird der Frage nachgegangen: Kann Verschränkungsdetektion

verbessert werden, wenn man zusätzlich zum Erwartungswertes des Verschränkungszeugen

noch den Erwartungswert einer anderen Observablen kennt? Für niedrige Dimensionen

werden notwendige und hinreichende Bedingungen hergeleitet, die zwei

Produktobservablen erfüllen müssen um Verschränkung detektieren zu können. Zuletzt

wird die allgemeine Aussage bewiesen, dass jeder echte N-Teilchen verschränkte

Zustand immer auf seine k-Teilchen Subsysteme projiziert werden kann, sodass dieser

Zustand echt k-Teilchen verschränkt ist.

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