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Zusammenfassung
( AEnglischA )

The problem of distributing points on a domain, like ball, plays a special

role in the fields like geosciences and medical imaging. Therefore, we present

an equidistribution theory with a focus on obtaining low-discrepancy point

grids on a 3-dimensional ball.

The connection of the discrepancy method and the quadrature points on a

given domain is quite well known. We approximate the integral of a function

given on a bounded domain by the sum of function values at a specific set of

points together with some weights. The idea is to get the best approximation

with the fewest possible function values. The ansatz is logical, if the chosen

data set is well distributed on the whole domain. This perspective, with the

ball as a domain, enables us to get nice configurations as well as suitable

approximations to the integrals of functions on the ball.

It is, for instance, important for choosing the centres of the radial basis

functions as they are needed for regularization methods such as the RFMP

algorithm and the ROFMP algorithm, developed by the Geomathematics

Group at the University of Siegen for ill-posed inverse problems with particular

focus on the sphere and the ball as domains of the unknown functions.

Additionally, it is also important for computational purposes. For instance,

for the wavelet methods with data given on the ball, where one needs to have

an appropriate quadrature rule.

Zusammenfassung
( ADeutschA )

Das Problem, Punkte auf einem Bereich, wie einer Kugel, zu verteilen, spielt

eine wichtige Rolle in den Geowissenschaften und der medizinischen Bildgebung.

Deshalb präsentieren wir eine Gleichverteilungstheorie auf der 3DKugel

in Bezug auf Minimum-Diskrepanz-Gitter. Der Zusammenhang zwischen

Diskrepanz und Punktgittern für gegebene Bereiche ist wohlbekannt.

Hierbei wird das Integral einer Funktion durch eine gewichtete Summe von

Funktionswerten approximiert. Die Idee besteht darin, die beste Annäherung

mit möglichst wenigen Funktionswerten zu erzielen. Der Ansatz ist klar,

wenn die gewählten Punkte in dem gesamten Bereich gut verteilt sind. Diese

Perspektive, mit dem Ball als Bereich, ermöglicht es uns, "schöne" Strukturen

sowie geeignete Näherungen an die Integrale von Funktionen auf der

Kugel zu erhalten. Zum Beispiel ist es wichtig, die Mittelpunkte der radialen

Basisfunktionen auszuwählen, weil diese für Regularisierungsmethoden

wie den RFMP-Algorithmus und den ROFMP-Algorithmus benötigt werden.

Diese Algorithmen wurden von der AG Geomathematik der Universität

Siegen für schlecht gestellte inverse Probleme mit besonderem Fokus auf die

Sphäre und die Kugel als Definitionsbereiche entwickelt. Darüber hinaus

sind solche Gitter auch für andere numerische Zwecke hilfreich, wie z.B. für

Wavelet-Verfahren auf der Kugel, die ein Quadraturgitter brauchen.

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