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Abstract
  • The problem of distributing points on a domain, like ball, plays a special
    role in the fields like geosciences and medical imaging. Therefore, we present
    an equidistribution theory with a focus on obtaining low-discrepancy point
    grids on a 3-dimensional ball.
    The connection of the discrepancy method and the quadrature points on a
    given domain is quite well known. We approximate the integral of a function
    given on a bounded domain by the sum of function values at a specific set of
    points together with some weights. The idea is to get the best approximation
    with the fewest possible function values. The ansatz is logical, if the chosen
    data set is well distributed on the whole domain. This perspective, with the
    ball as a domain, enables us to get nice configurations as well as suitable
    approximations to the integrals of functions on the ball.
    It is, for instance, important for choosing the centres of the radial basis
    functions as they are needed for regularization methods such as the RFMP
    algorithm and the ROFMP algorithm, developed by the Geomathematics
    Group at the University of Siegen for ill-posed inverse problems with particular
    focus on the sphere and the ball as domains of the unknown functions.
    Additionally, it is also important for computational purposes. For instance,
    for the wavelet methods with data given on the ball, where one needs to have
    an appropriate quadrature rule.
Zusammenfassung
  • Das Problem, Punkte auf einem Bereich, wie einer Kugel, zu verteilen, spielt
    eine wichtige Rolle in den Geowissenschaften und der medizinischen Bildgebung.
    Deshalb präsentieren wir eine Gleichverteilungstheorie auf der 3DKugel
    in Bezug auf Minimum-Diskrepanz-Gitter. Der Zusammenhang zwischen
    Diskrepanz und Punktgittern für gegebene Bereiche ist wohlbekannt.
    Hierbei wird das Integral einer Funktion durch eine gewichtete Summe von
    Funktionswerten approximiert. Die Idee besteht darin, die beste Annäherung
    mit möglichst wenigen Funktionswerten zu erzielen. Der Ansatz ist klar,
    wenn die gewählten Punkte in dem gesamten Bereich gut verteilt sind. Diese
    Perspektive, mit dem Ball als Bereich, ermöglicht es uns, "schöne" Strukturen
    sowie geeignete Näherungen an die Integrale von Funktionen auf der
    Kugel zu erhalten. Zum Beispiel ist es wichtig, die Mittelpunkte der radialen
    Basisfunktionen auszuwählen, weil diese für Regularisierungsmethoden
    wie den RFMP-Algorithmus und den ROFMP-Algorithmus benötigt werden.
    Diese Algorithmen wurden von der AG Geomathematik der Universität
    Siegen für schlecht gestellte inverse Probleme mit besonderem Fokus auf die
    Sphäre und die Kugel als Definitionsbereiche entwickelt. Darüber hinaus
    sind solche Gitter auch für andere numerische Zwecke hilfreich, wie z.B. für
    Wavelet-Verfahren auf der Kugel, die ein Quadraturgitter brauchen.
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