Hage, Dunja Alexandra: Neue Lösungsstrategien für l1-Minimierungsprobleme mit Kalman-Filtern. 2020
Inhalt
- Vorwort
- Kurzfassung
- Abstract
- Inhaltsverzeichnis
- Abbildungen
- Tabellen
- Verzeichnis der Algorithmen
- Abkürzungsverzeichnis
- Symbolverzeichnis
- 1 Einleitung
- 2 Mathematische Grundlagen
- 2.1 Allgemeines
- 2.1.1 Überbestimmte lineare Gleichungssyteme
- 2.1.2 Unterbestimmte lineare Gleichungssyteme
- 2.1.3 Regularisierung
- 2.2 Einordnung von Compressed Sensing im mathematischen Kontext
- 3 Compressed Sensing
- 3.1 Forschungsstand
- 3.2 Inkohärenz, RIP und NSP
- 3.2.1 Inkohärenz
- 3.2.2 Restricted Isometry Property (RIP)
- 3.2.3 Null Space Property - Nullraumeigenschaft (NSP)
- 3.3 Beziehungen zwischen spark, gegenseitiger Kohärenz, RIP und NSP
- 3.4 Sparse Rekonstruktion
- 3.5 Rekonstruktionsalgorithmen für 1-Minimierungsprobleme
- 4 Kalman-Filter
- 5 Erweitertes Kalman-Filter für 1-Minimierungsproblem
- 6 Kalman-Filter für 1-Minimierungsproblem (Nullraum-Variante)
- 6.1 Allgemeine Funktionsweise
- 6.2 LQ-Zerlegung der Sensingmatrix für die Berechnung einer Startlösung
- 6.3 Konvergenzbeweis des Kalman-Filters
- 7 Konvergenzbeschleunigungsverfahren
- 7.1 Motivation
- 7.2 2-Grundverfahren von Aitken
- 7.3 Extrapolationsverfahren nach der 2-Aitken-Methode
- 8 Kalman-Filter mit integriertem Konvergenzbeschleunigungsverfahren
- 8.1 Allgemeine Funktionsweise
- 8.2 Untersuchungen des Kalman-Filters und des Kalman-Filters mit integriertem Konvergenzbeschleunigungsverfahren (KF-Aitken)
- 8.3 Vergleich zwischen KF-Aitken und dem primal-dual-Algorithmus von Chambolle & Pock (C&P)
- 9 Erweitertes Kalman-Filter mit einem externen Thresholding (KF-ET)
- 9.1 Allgemeine Beschreibung
- 9.2 Untersuchungen des Kalman-Filters mit externem Thresholding
- 9.3 Untersuchungen des Kalman-Filters mit externem Thresholding mit verrauschten Daten
- 10 Vergleiche der vorgestellten Algorithmen mit verrauschten Daten
- 11 Anwendungen mit entfernungsmessendem System
- 12 Zusammenfassung und Ausblick
- Anhang A Definition von Normen und Skalarprodukt
- Anhang B Normierung der Spaltenvektoren einer Matrix
- Anhang C Ableitung der Kalman-Filter-Gleichungen über den Ansatz orthogonaler Projektionen
- Anhang D Beweis der Konvergenz des Kalman-Filters
- Anhang E Herleitung Matrixinversionslemmata
- Anhang F Stochastische Analyse - Schätzfehlerkovarianzmatrix
- Literaturverzeichnis