Charton, Jean Mathias: Eine Linienmethode zur approximativen Lösung inverser Probleme für elliptische Differentialgleichungen. 2004
Inhalt
- Inhaltsverzeichnis
- Abbildungsverzeichnis
- Tabellenverzeichnis
- Einleitung
- Elliptische partielle Differentialgleichungen
- Partielle Differentialgleichungen
- Klassifikation partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung
- Beispiele und Anwendungen elliptischer Differentialgleichungen
- Einführung in inverse und schlecht gestellte Probleme
- Das Cauchy-Problem für elliptische PDGL
- Beschreibung der Problemstellung
- Anwendungsbeispiele des Cauchy-Problems
- Das Cauchy-Problem in der Literatur
- Übersicht und Zusammenfassung der Arbeit
- I Der Fall des Cauchy-Problems für die Poisson-Gleichung (CPPG)
- Eine Linienmethode für das CPPG
- Konvergenz für frequenzbeschränkte Daten
- Vorbereitende Untersuchungen und ein Modellbeispiel
- Ausgewählte Ergebnisse aus der Fourieranalysis
- Definition und Eigenschaften der Datenräume DMh
- Konvergenz und Fehlerabschätzung für ungestörte Daten
- Darstellung der exakten Lösung
- Ein Konvergenzsatz für beliebige ungestörte Daten
- Ein Konvergenzsatz für ungestörte Daten aus DM
- Auswirkung der Schlechtgestelltheit des CP auf die Linienmethode
- Bedingte Gutgestelltheit des CP für Daten in DMh
- Stabilität und Konvergenz für beschränkte Lösung
- Ein Stabilitätssatz für das kontinuierliche Problem
- Logarithmische Konvexität
- Verdeutlichung der Notwendigkeit tiefergehender Untersuchungen an einem Gegenbeispiel
- Der Spezialfall identischer Fourierkoeffizienten
- Logarithmische Konvexität von F im allgemeinen Fall
- Beweis des Stabilitätssatzes
- Fehlerabschätzung und Konvergenzsatz für die Linienmethode
- II Der Fall einer elliptischen Gleichung mit einem Diffusionskoeffizienten
- Die Linienmethode für ein allgemeineres Problem
- Das Cauchy-Problem für eine PDGL mit Diffusionskoeffizient
- Herleitung der Linienmethode
- Diskretisierung
- Hilfsergebnisse aus der Eigenwerttheorie
- Entkoppelung des Problems und erste Lösungsdarstellung
- Detaillierte Untersuchung der diskreten Eigenwerte
- Das kontinuierliche Problem
- Separation der Variablen
- Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem
- Die Sturmsche Randwertaufgabe und zugehörige Greensche Funktion
- Aufstellung des Eigenwertproblems und erste Charakteristika
- Der Fredholmsche Integraloperator
- Eigenwerte und Eigenfunktionen des Fredholmschen Integraloperators
- Eigenwerte und Eigenfunktionen der Sturm-Liouvilleschen Aufgabe sowie Entwicklungssätze
- Lösungsdarstellung und Stabilitätssatz
- Konvergenz der Linienmethode
- III Erprobung der Linienmethode in numerischen Beispielen
- Numerische Berechnungen und Beispiele
- Berechnungen zur Poisson-Gleichung
- Berechnungen zu einer Gleichung mit Diffusionskoeffizient
- Zum Problem der Randidentifizierung
- Bilder und Tabellen zu den numerischen Ergebnissen
- Beispiele zur Poisson-Gleichung
- Beispiele zu einer Gleichung mit Diffusionskoeffizient
- Zum Problem der Randidentifizierung
- Literaturverzeichnis
- Index
- Danksagung