Titelaufnahme
Titelaufnahme
- TitelThe generalised symmetric group : transitivity, designs and perfect matchings / Lukas Klawuhn ; supervisors Prof. Dr. Kai-Uwe Schmidt, Prof. Dr. Igor Burban
- Autor
- Gutachter
- Erschienen
- Umfang1 Online-Ressource (xi, 161 Seiten) : Diagramme
- HochschulschriftUniversität Paderborn, Dissertation, 2026
- AnmerkungTag der Verteidigung: 07.07.2026
- Verteidigung2026-07-07
- SpracheEnglisch
- DokumenttypDissertation
- Schlagwörter (GND)
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- Nachweis
- IIIF
Klassifikation
Zusammenfassung
Das zentrale Thema dieser Dissertation ist die Erforschung von Codes und Designs in verschiedenen Assoziationsschemata, die zur verallgemeinerten symmetrischen Gruppe gehören. Wir untersuchen das Konjugationsklassenschema der verallgemeinerten symmetrischen Gruppe (Spezialfälle davon sind Coxetergruppen und die Symmetriegruppen regulärer Polytope) und das Assoziationsschema der perfekten Matchings. Im Konjugationsklassenschema zeigen wir, dass Gruppen, die transitiv auf gefärbten Zahlen oder regulären Polytopen operieren, Designs sind, und im Assoziationsschema der perfekten Matchings zeigen wir, dass 1-Faktorisierungen und Hyperfaktorisierungen Beispiele für Designs sind. Wir verallgemeinern diese Strukturen und ordnen sie in die Theorie der Assoziationsschemata ein, wodurch wir bereits existierende Resultate vereinen und deutlich verallgemeinern. Dadurch können wir Teilbarkeitsbedingungen an die Parameter sowie neue Existenz- und Nichtexistenzresultate herleiten. In beiden Assoziationsschemata entwickeln wir eine Charakterisierung der untersuchten Teilmengen als Delsarte-Designs. Wir verwenden Darstellungs- und Charaktertheorie, insbesondere die Zerlegung von Permutationscharakteren. Mit Hilfe unserer Charakterisierung der Teilmengen als Designs beweisen wir Verallgemeinerungen des Livingstone-Wagner-Theorems über t-Homogenität in der symmetrischen Gruppe. Außerdem geben wir explizite Konstruktionen an und wenden unsere Ergebnisse auf das bekannte ungelöste Problem der Existenz einer endlichen projektiven Ebene, deren Ordnung keine Primzahlpotenz ist, an.
Abstract
The central topic of this thesis is the study of codes and designs in several association schemes related to the generalised symmetric group. We investigate the conjugacy class scheme of the generalised symmetric group (which includes Coxeter groups and the symmetry groups of regular polytopes) and the perfect matching association scheme. In the conjugacy class scheme, we find that groups that are transitive on coloured numbers or regular polytopes are designs, and in the perfect matching association scheme, we find that 1-factorisations and hyperfactorisations are examples of designs. We generalise these notions and set them in the context of association schemes, unifying and vastly generalising existing results. This allows us to derive divisibility conditions on the parameters and new existence and non-existence results. In both schemes, we develop a characterisation of the subsets of interest as Delsarte designs. Our methods use representation and character theory, especially the decomposition of permutation characters. Using our characterisation of designs, we prove generalisations of the celebrated Livingstone-Wagner theorem about t-homogeneity in the symmetric group. We also give constructions and an application of our results to the famous open problem of the existence of a finite projective plane whose order is not a prime power.
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