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Zusammenfassung
  • Wir untersuchen Familien von Kongruenzklassen modulo einer unendlichen Menge paarweise teilerfremder Ideale in einer étalen Q-Algebra K, die wir Siebe nennen, sowie die zugehörigen Mengen R-freier Zahlen, bestehend aus Elementen von O_K, die in keiner Klasse eines Siebs R liegen. Dieser Rahmen verallgemeinert klassische Beispiele wie B-freie ganze Zahlen, quadratfreie Werte von Polynomen und carefree couples.Wir analysieren die zugehörigen dynamischen Systeme, insbesondere den Raum zulässiger Mengen Ω_R und den Orbitabschluss X_R, mit dem Ziel, Sarnaks Programm über bisher untersuchte B-freie Systeme hinaus zu erweitern. Dazu führen wir den Begriff weak light tails ein und untersuchen Siebe mit dieser und verwandten Eigenschaften.Wir beweisen eine verallgemeinerte Version von Sarnaks Programm für Siebe in étalen Q-Algebren, einschließlich allgemeiner Erdős B-freier Systeme. Außerdem zeigen wir, dass das maßtheoretische dynamische System (Ω_R, S, ν_R) stets isomorph zu einer Rotation auf einer kompakten abelschen Gruppe ist. Zudem führen wir minimale Siebe ein, um die Beziehung zwischen X_R und Ω_R sowie Eindeutigkeitsfragen für R-freie Zahlen zu beschreiben. Abschließend wenden wir diese Methoden auf zahlentheoretische Probleme wie Summenmengen R-freier Zahlen, quadratfreie Polynomwerte und einen ergodischen Primzahlsatz an.
Abstract
  • We study collections of congruence classes modulo an infinite set of pairwise coprime ideals in an étale Q-algebra K, called sieves, together with the associated sets of R-free numbers, consisting of elements of O_K not contained in any class of a sieve R. This framework generalizes several classical examples, including B-free integers, squarefree values of polynomials, and carefree couples.We investigate the associated dynamical systems, in particular the space of admissible sets Ω_R and the orbit closure X_R, with the aim of extending Sarnak’s program beyond previously studied B-free systems. For this purpose, we introduce the notion of weak light tails and analyze sieves satisfying this and related properties.We prove a generalized version of Sarnak’s program for sieves in étale Q-algebras, including general Erdős B-free systems. Furthermore, we show that the measure-theoretic dynamical system (Ω_R, S, ν_R) is always isomorphic to a rotation on a compact abelian group. We also introduce minimal sieves to describe the relation between X_R and Ω_R and to address uniqueness questions for R-free numbers. Finally, we apply these methods to number-theoretic problems such as sumsets of R-free numbers, squarefree polynomial values, and an ergodic prime number theorem for R-free numbers under weak light tails.
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